Como você testa a série #Sigma 1 / (n!) # De n é # [0, oo) # para convergência?

Vamos usar o teste de proporção. O teste de proporção diz que o da série #suma_n#, podemos determinar sua convergência tomando #L=lim_(ararroo)abs(a_(n+1)/a_n)#. Examine o valor de #L#:

• If #L>1#, Em seguida #suma_n# é divergente.
• If #L=1#, então o teste é inconclusivo.
• If #L<1#, Em seguida #suma_n# é (absolutamente) convergente.

Então, para a série #sum_(n=0)^oo1/(n!)# Nós deixamos #a_n=1/(n!)#. Então vemos que

#L=lim_(nrarroo)abs((1/((n+1)!))/(1/(n!)))=lim_(nrarroo)abs((n!)/((n+1)!))#

Isso leva a lembrar um pouco sobre fatorial. A definição de fatorial afirma que #(n+1)! =(n+1)(n!)#, Semelhante ao modo como #7! = 7*6!#. Portanto:

#L=lim_(nrarroo)abs((n!)/((n+1)(n!)))=lim_(nrarroo)abs(1/(n+1))=0#

Desde #L=0# e, portanto, #L<1#, nós vemos que #suma_n=sum_(n=0)^oo1/(n!)# é convergente através do teste de proporção.