Como você encontra o intervalo de convergência para uma série de potências?

O intervalo de convergência de uma série de potências é o conjunto de todos os valores x para os quais a série de potências converge.

Vamos encontrar o intervalo de convergência de #sum_{n=0}^infty{x^n}/n#.
Pelo teste da relação,
#lim_{n to infty}|{a_{n+1}}/{a_n}|
=lim_{n to infty}|x^{n+1}/{n+1}cdotn/x^n|
=|x|lim_{n to infty}n/{n+1}#
#=|x|cdot 1=|x|<1 Rightarrow -1 < x < 1#,
o que significa que a série de potência converge pelo menos em #(-1,1)#.

Agora, precisamos verificar sua convergência nos pontos de extremidade: #x=-1# e #x=1#.

If #x=-1#, a série de potência se torna a alternada série harmônica
#sum_{n=0}^infty(-1)^n/n#,
que é convergente. Tão, #x=1# Deveria ser incluído.

If #x=1#, a série de potências se torna a série harmônica
#sum_{n=0}^infty1/n#,
que é divergente. Tão, #x=1# deve ser excluído.

Portanto, o intervalo de convergência é #[-1,1)#.

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