Dado um perímetro de 180, como você encontra o comprimento e a largura do retângulo da área máxima?

Responda:

Dado um perímetro de 180, o comprimento e a largura do retângulo com a área máxima são 45 e 45.

Explicação:

Deixei $x =$ $x=$ o comprimento e $y =$ $y=$ a largura do retângulo.
A área do retângulo $A = x y$ $A =xy$

$2 x + 2 y = 180$ $2x+2y=180$ porque o perímetro é $180$ $180$ .

Resolva para $y$ $y$
$2 y = 180 - 2 x$ $2y=180-2x$
$y = 90 - x$ $y=90-x$

Substituto para $y$ $y$ na equação da área.
$A = x (90 - x)$ $A=x(90-x)$
$A = 90 x - x^{2}$ $A=90x-x^2$

Esta equação representa uma parábola que se abre. O valor máximo da área está no vértice.

Reescrevendo a equação da área no formulário $a x^{2} + b x + c$ $ax^2+bx+c$
$A = - x^{2} + 90 x a a a a = - 1, b = 90, c = 0$ $A=-x^2+90xcolor(white)(aaa)a=-1, b=90, c=0$

A fórmula para o $x$ $x$ coordenada do vértice é
$x = \frac{- b}{2 a} = \frac{- 90}{2 \cdot - 1} = 45$ $x=(-b)/(2a)= (-90)/(2*-1)=45$

A área máxima é encontrada em $x = 45$ $x=45$
e $y = 90 - x = 90 - 45 = 45$ $y=90-x=90-45=45$

Dado um perímetro de 180, as dimensões do retângulo com a área máxima são 45x45.