Encontre todos os pontos em que a linha tangente é horizontal: # x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 1 #?

Sabemos que a linha tangente é horizontal quando #y'=0#. Então, queremos encontrar todos os pontos na curva onde #y'=0#.

PASSO 1: Use diferenciação implícita para encontrar #y'#
#2x + (1*y + xy') + 2y*y' = 0 = 2x + y + xy' + 2yy' = 0#

PASSO 2: Estamos procurando onde #y'=0#, então vá em frente e conecte o 0 por #y'# na equação acima.
#2x + y + x(0) + 2y(0) = 0#
#y = -2x#

PASSO 3: Agora sabemos que temos uma linha tangente horizontal sempre que #y=-2x#. Mas a pergunta está nos perguntando "por que pontos". Para encontrar os pontos, estamos procurando os pontos na curva para qual #y=-2x#.

PASSO 4: Quando é que #y=-2x# na curva #x^2 + xy + y^2 = 1#?
Para resolver esta questão, podemos sub #-2x# onde quer que vejamos #y# em nossa equação original (método de substituição).
#x^2 + x(-2x) + (-2x)^2 = 1#
#x^2 -2x^2 +4x^2 = 1#
#3x^2 = 1#
#x^2 = 1/3#
#x = +- sqrt(1/3)#

PASSO 5: Agora que sabemos o valor x do ponto, podemos facilmente encontrar o valor y do ponto, porque sabemos #y=-2x# onde a linha tangente é horizontal.

PONTOS: #(sqrt(1/3),-2sqrt(1/3)) and (-sqrt(1/3),2sqrt(1/3))#