Integração de #int e ^ sin (x) dx #?

Realmente não há como integrar isso. A maneira de integrar é pensar "essa é a derivada de quê?" Como sua equação original é

#e^sin(x)#

Na verdade, você não pode aplicar isso, porque isso significaria:

#inte^sin(x)dx=-e^sin(x)/cos(x)#

Este não é o caso, no entanto, porque isso se torna um regra do quociente, o que leva a uma função muito mais complexa depois de integrada, de

#(e^sin(x)*sin(x))/cos^2(x)+e^sin(x)#

Então, vamos precisar de outra abordagem. Como não podemos realmente integrar isso, precisamos transformar isso em algo mais integrável. Podemos reescrever #e^sin(x)# como uma série de potências para tornar isso integrável.

A Power Series é um série infinita escrito no formulário:

#sum_(n=0)^(oo)a_nx^n#

Para criar um desses, você precisa continuamente obter a derivada de sua função original, e é bastante complexa. Eu recomendo assistir a vídeos da Khan Academy. Eles fazem um ótimo trabalho explicando isso.

Apenas saiba que

#e^x=sum_(n=0)^(oo)x^n/(n!)#

Como podemos substituir x por sin (x), podemos deduzir

#e^sinx=sum_(n=0)^(oo)sin^n(x)/(n!)#

E podemos integrar os dois lados para obter

#inte^sinxdx=sum_(n=0)^(oo)intsin^n(x)/(n!)dx#

Pode não ser o que você estava procurando, mas é até onde eu sei como levá-lo. Talvez você queira dar outro passo e usar a Power Series para o pecado (x). Aqui está, caso possa ajudar:

#sin(x)=sum_(n=0)^(oo)((-1)^nx^(2n+1))/((1+2n)!)#

Boa sorte!