O que é # int_1 ^ oo sinx / x ^ 2 dx #?

Para calcular a antiderivada, aplicaremos Integração por partes com #f=sin(x)# e #g'=x^-2#

Isso torna nossa integral:
#-sin(x)/x-int-cos(x)/x dx=-sin(x)/x+int cos(x)/x dx#

À direita, temos uma integral especial, a Integral Cosseno. Geralmente é indicado usando #Ci(x)#. Isso significa que a resposta para a integral é:
#Ci(x)-sin(x)/x+C#

Agora podemos conectar nossos limites de integração para obter:
#int_1^oosin(x)/x^2=lim_(x->oo)(Ci(x)-sin(x)/x)-(Ci(1)-sin(1))#

Porque o #Ci(x)# função é o resultado de uma integração, ela terá alguma constante. O que é essa constante realmente não importa, porque na maioria dos aplicativos você a cancela desde que subtraia duas #Ci(x)# valores (devido ao teorema fundamental do cálculo).

Ao calcular o #Ci(x)# função, você deve escolher algum valor para essa constante (você pode escolher o que quiser por conveniência, pois ela será cancelada). Você pode esperar que a escolha seja #0#, mas foi decidido que essa constante deve ser #gamma# (O Constante de Euler Mascheroni) Isto é para que:
#lim_(x->oo)Ci(x)=0#

Isso significa que podemos avaliar o limite em nossa expressão (espero que você possa avaliar o limite senoidal por conta própria):
#lim_(x->oo)(Ci(x)-sin(x)/x)=0#

Então, ficamos com:
#-(Ci(1)-sin(1))=sin(1)-Ci(1)#

Você poderia simplesmente enfiar o #Ci(1)# valor em algo como Wolfram Alpha para obter uma resposta, mas apenas por diversão, vejamos como alguém pode chegar ao valor.

A maneira mais simples de aproximar #Ci(1)# provavelmente está usando uma série Maclaurin. Nós sabemos isso:
#Ci(x)=int cos(x)/x dx#

A técnica clássica aqui é elaborar uma série de #cos(x)/x# e depois integre-o.

Conhecemos a série Maclaurin para cosseno, para que possamos dividir todos os termos por #x#:
#cos(x)/x=1/xsum_(n=0)^oo(-1)^nx^(2n)/((2n)!)=sum_(n=0)^oo(-1)^nx^(2n-1)/((2n)!)=#

#=1/x-x/(2!)+x^3/(4!)-x^5/(6!)...#

Para integrar isso agora, podemos tratar o primeiro valor especialmente (já que ele terá uma integral de #ln(x)#) e podemos usar o inverso regra de poder para o resto:
#int sum_(n=0)^oo(-1)^nx^(2n-1)/((2n)!) dx=C+ln(x)+sum_(n=1)^oo(-1)^nx^(2n)/(2n(2n)!)#

#C# é a constante de integração, e nós escolhemos isso anteriormente #gamma#, então devemos fazer o mesmo aqui (caso contrário, eles não cancelariam):
#Ci(x)=gamma+ln(x)+sum_(n=1)^oo(-1)^nx^(2n)/(2n(2n)!)#

Agora podemos usar esta fórmula para avaliar #Ci(1)#. Eu escrevi um pequeno programa Java para avaliar as séries até #15# termos e obtendo um valor de:
#Ci(1)~~0.3374039#

Agora subtraímos isso de #sin(1)# para obter aproximadamente:
#sin(1)-Ci(1)~~0.504#