O raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 mm / s. Qual é a velocidade do aumento do volume quando o diâmetro é 40 mm?

utilização #r# para representar o raio e #t# por um tempo, você pode escrever a primeira taxa como:

#(dr)/(dt) = 4 "mm"/"s"#

or

#r = r(t) = 4t#

A fórmula para o volume de uma esfera sólida é:

#V = V(r) = 4/3pir^3#

Quando você toma a derivada de ambos os lados em relação ao tempo ...

#(dV)/(dt) = 4/3pi(3r^2)((dr)/(dt))#

...lembre o Regra da cadeia para diferenciação implícita. O formato geral para isso é:

#(dV(r))/(dt) = (dV(r))/(dr(t))*(dr(t))/(dt)#

with #V = V(r)# and #r = r(t)#.

Então, quando você pega a derivada do volume, é com relação à sua variável #r# #((dV(r))/(dr(t)))#, mas queremos fazer isso em relação a #t# #((dV(r))/(dt))#. Desde #r = r(t)# e #r(t)# é implicitamente uma função de #t#, para fazer a igualdade funcionar, você deve multiplicar pela derivada da função #r(t)# em relação a #t# #((dr(t))/(dt))#também. Dessa forma, você está pegando um derivado ao longo de um cadeia de funções, por assim dizer (#V -> r -> t#).

Agora, o que você pode fazer é simplesmente conectar o que #r# é (observe que você recebeu diâmetro) e qual #(dr)/(dt)# é porque #(dV)/(dt)# descreve a taxa de variação do volume ao longo do tempo, de uma esfera.

#(dV)/(dt) = 4/3pi(3(20 "mm")^2)(4 "mm"/"s")#

#= 6400pi "mm"^3/"s"#

Como o tempo apenas aumenta e o raio aumenta em função do tempo, e o volume aumenta em função de tempos constantes em que o raio é cubado, o volume aumenta mais rapidamente do que o raio, então não podemos apenas dizer que as duas taxas são o mesmo.