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O tetraedro delimitado pelos planos de coordenadas e pelo plano 2x + y + z = 4, como você encontra o volume?

Você nem precisa usar integrais para encontrar o volume, mas você pode, eu acho.

Eu tenho #16/3# usando integrais triplos e usando uma abordagem visual.

ABORDAGEM VISUAL

Para este plano, uma vez que cruza com o #xy#, #xz#e #yz# aviões, faz um quarto de uma pirâmide romboide. Então, tudo o que precisamos fazer é:

  1. Encontre as interseções
  2. Determine o comprimento de cada distância diagonal
  3. Encontre o volume de toda a pirâmide romboide hipotética
  4. Dividido por #4#

As interseções estão no #x#, #y#e #z# eixo.

  • Uma interseção está no #x#-axis, que é quando #y = z = 0#. Portanto, #x = 2#.
  • Uma interseção está no #y#-axis, que é quando #x = z = 0#. Portanto, #y = 4#.
  • Uma interseção está no #z#-axis, que é quando #x = y = 0#. Portanto, #z = 4#.

Então, as três interseções são #(2,0,0)#, #(0,4,0)#e #(0,0,4)#de distâncias #2#, #4#e #4#, respectivamente, de #(0,0,0)#.

  • De #z# intersecção, obtemos a altura da hipotética pirâmide romboide.
  • De #x# e #y# interseções, temos metade de cada distância diagonal através da base hipotética.

O volume de todo pirâmide romboide teria sido:

#mathbf(V_"tetrahedron" = 1/3A_"base"h)#

A área da base de losango simétrica é então quatro vezes a área de cada porção triangular, que é a área delimitada por #y = 4 - 2x# e a #x# e #y# eixos.

#x# e #y# se tornar a altura do triângulo, e resolvemos por sua área como #A_"triangle" = 1/2xy#. Portanto:

#A_"base" = 4(1/2xy) = 2xy = 2(2)(4) = 16#

Ou, poderíamos ter usado a fórmula para o área de um losango ("método diagonal"), que usa #2x# e #2y# como as diagonais #p# e #q#.

#A_"base" = (pq)/2 = ((2x)(2y))/2 = 2xy = 16#

Finalmente, por construção, o volume do tetraedro original é então um quarto do volume de nossa hipotética pirâmide romboide:

#color(blue)(V_"tetrahedron") = 1/4[1/3Ah]#

#= 1/4*1/3[16*4]#

#= 1/4*64/3#

#= color(blue)(16/3)#

ABORDAGEM DE CÁLCULO III

Uma abordagem alternativa para isso usando integrais triplos envolve integrar cada dimensão de cada vez.

#=> mathbf(int_(x_1)^(x_2) int_(y_1)^(y_2) int_(z_1)^(z_2) dzdydx)#

O que temos é #x_1 = y_1 = z_1 = 0#, já que o limite inferior é cada plano de coordenadas. Ou seja, sabemos que #x,y,z >= 0#, então estamos vinculados a esses valores.

Em seguida, para obter os limites superiores, resolvemos a equação para cada variável individual.

  • Resolvendo para #z_2#, Nós temos #color(green)(z_2 = 4 - 2x - y)#.

Note: our integration element can't have #x = y = 0#, because #z = 4 - 2x# is our #xz#-plane triangle, and #y# allows us to integrate with respect to #y# later. This is our projection along the #mathbf(y)# axis.

  • Resolvendo para #y_2#, observamos que em três dimensões, existem dois interseções no #xy#-plane: quando #x = 0#E, quando #y = 0#. Podemos incluir os dois em uma equação de variável 2 quando #z = 0# para obter:

#color(green)(y_2 = 4 - 2x)#

Note: our integration element can't have #x = 0#, because #y = 4# is just a horizontal line, and we need to integrate with respect to #x# later. This is our projection along the #mathbf(x)# axis.

  • Resolvendo para #x_2#, encontramos onde #4 - 2x# cruza o #x#-axis: quando #z = 0# e #y = 0#. Portanto, trabalhamos a partir da equação inicial para obter:

#2x_2 = 4 - z - y => 2x_2 = 4#

#color(green)(x_2 = 2)#

No geral, devemos imaginar o #xz#plano construído pelo #x# e #z# intercepta, projetada para o exterior ao longo da #mathbf(y)# eixo, delimitado:

igual a:

para gerar o tetraedro:

Então, nossas integrais funcionam assim, de dentro para fora:

#int_(0)^(2) int_(0)^(4 - 2x) int_(0)^(4 - 2x - y) 1dzdydx#

#= int_(0)^(2) int_(0)^(4 - 2x) 4 - 2x - y dydx#

Agora, para a integral "parcial" em relação a #y# (o inverso da derivada parcial em relação a #y#) Tão, #x# é uma constante.

#= int_(0)^(2) |[4y - 2xy - y^2/2]|_(0)^(4-2x) dx#

#= int_(0)^(2) [(4(4-2x) - 2x(4-2x) - (4-2x)^2/2) - cancel((4(0) - 2x(0) - (0)^2/2))] dx#

#= int_(0)^(2) [(16-8x) - (8x-4x^2) - (16 - 16x + 4x^2)/2] dx#

#= int_(0)^(2) [(16-8x) - (8x-4x^2) - (8 - 8x + 2x^2)] dx#

#= int_(0)^(2) 16 - 8x - 8x + 4x^2 - 8 + 8x - 2x^2 dx#

Finalmente, a integral em relação a #x# é mais fácil, com apenas uma variável para lidar.

#= int_(0)^(2) 16 + 2x^2 - 8x - 8dx#

#= |[16x + 2/3x^3 - 4x^2 - 8x]|_(0)^(2)#

#= [16(2) + 2/3(2)^3 - 4(2)^2 - 8(2)] - cancel([16(0) + 2/3(0)^3 - 4(0)^2 - 8(0)])#

#= 32 + 16/3 - 16 - 16#

#= color(blue)(16/3)#

... que combina com a abordagem visual mais intuitiva! 🙂