O tetraedro delimitado pelos planos de coordenadas e pelo plano 2x + y + z = 4, como você encontra o volume?

Você nem precisa usar integrais para encontrar o volume, mas você pode, eu acho.

Eu tenho $16/3$ usando integrais triplos e usando uma abordagem visual.

ABORDAGEM VISUAL

Para este plano, uma vez que cruza com o $xy$ , $xz$ e $yz$ aviões, faz um quarto de uma pirâmide romboide. Então, tudo o que precisamos fazer é:

Encontre as interseções
Determine o comprimento de cada distância diagonal
Encontre o volume de toda a pirâmide romboide hipotética
Dividido por $4$

As interseções estão no $x$ , $y$ e $z$ eixo.

Uma interseção está no $x$ -axis, que é quando $y = z = 0$ . Portanto, $x = 2$ .
Uma interseção está no $y$ -axis, que é quando $x = z = 0$ . Portanto, $y = 4$ .
Uma interseção está no $z$ -axis, que é quando $x = y = 0$ . Portanto, $z = 4$ .

Então, as três interseções são $(2,0,0)$ , $(0,4,0)$ e $(0,0,4)$ de distâncias $2$ , $4$ e $4$ , respectivamente, de $(0,0,0)$ .

De $z$ intersecção, obtemos a altura da hipotética pirâmide romboide.
De $x$ e $y$ interseções, temos metade de cada distância diagonal através da base hipotética.

O volume de todo pirâmide romboide teria sido:

$mathbf(V_"tetrahedron" = 1/3A_"base"h)$

A área da base de losango simétrica é então quatro vezes a área de cada porção triangular, que é a área delimitada por $y = 4 - 2x$ e a $x$ e $y$ eixos.

$x$ e $y$ se tornar a altura do triângulo, e resolvemos por sua área como $A_"triangle" = 1/2xy$ . Portanto:

$A_"base" = 4(1/2xy) = 2xy = 2(2)(4) = 16$

Ou, poderíamos ter usado a fórmula para o área de um losango ("método diagonal"), que usa $2x$ e $2y$ como as diagonais $p$ e $q$ .

$A_"base" = (pq)/2 = ((2x)(2y))/2 = 2xy = 16$

Finalmente, por construção, o volume do tetraedro original é então um quarto do volume de nossa hipotética pirâmide romboide:

$color(blue)(V_"tetrahedron") = 1/4[1/3Ah]$

$= 1/4*1/3[16*4]$

$= 1/4*64/3$

$= color(blue)(16/3)$

ABORDAGEM DE CÁLCULO III

Uma abordagem alternativa para isso usando integrais triplos envolve integrar cada dimensão de cada vez.

$=> mathbf(int_(x_1)^(x_2) int_(y_1)^(y_2) int_(z_1)^(z_2) dzdydx)$

O que temos é $x_1 = y_1 = z_1 = 0$ , já que o limite inferior é cada plano de coordenadas. Ou seja, sabemos que $x,y,z >= 0$ , então estamos vinculados a esses valores.

Em seguida, para obter os limites superiores, resolvemos a equação para cada variável individual.

Resolvendo para $z_2$ , Nós temos $color(green)(z_2 = 4 - 2x - y)$ .

Note: our integration element can't have $x = y = 0$ , because $z = 4 - 2x$ is our $xz$ -plane triangle, and $y$ allows us to integrate with respect to $y$ later. This is our projection along the $mathbf(y)$ axis.

Resolvendo para $y_2$ , observamos que em três dimensões, existem dois interseções no $xy$ -plane: quando $x = 0$ E, quando $y = 0$ . Podemos incluir os dois em uma equação de variável 2 quando $z = 0$ para obter:

$color(green)(y_2 = 4 - 2x)$

Note: our integration element can't have $x = 0$ , because $y = 4$ is just a horizontal line, and we need to integrate with respect to $x$ later. This is our projection along the $mathbf(x)$ axis.

Resolvendo para $x_2$ , encontramos onde $4 - 2x$ cruza o $x$ -axis: quando $z = 0$ e $y = 0$ . Portanto, trabalhamos a partir da equação inicial para obter:

$2x_2 = 4 - z - y => 2x_2 = 4$

$color(green)(x_2 = 2)$

No geral, devemos imaginar o $xz$ plano construído pelo $x$ e $z$ intercepta, projetada para o exterior ao longo da $mathbf(y)$ eixo, delimitado:

De cima pelo $z = 4 - 2x - y$ avião
No canto superior direito do $xy$ -plane by o $y = 4 - 2x$ linha
Da esquerda pelo $yz$ -avião
Do fundo pela $xy$ -avião

igual a:

para gerar o tetraedro:

Então, nossas integrais funcionam assim, de dentro para fora:

$int_(0)^(2) int_(0)^(4 - 2x) int_(0)^(4 - 2x - y) 1dzdydx$

$= int_(0)^(2) int_(0)^(4 - 2x) 4 - 2x - y dydx$

Agora, para a integral "parcial" em relação a $y$ (o inverso da derivada parcial em relação a $y$ ) Tão, $x$ é uma constante.

$= int_(0)^(2) |[4y - 2xy - y^2/2]|_(0)^(4-2x) dx$

$= int_(0)^(2) [(4(4-2x) - 2x(4-2x) - (4-2x)^2/2) - cancel((4(0) - 2x(0) - (0)^2/2))] dx$

$= int_(0)^(2) [(16-8x) - (8x-4x^2) - (16 - 16x + 4x^2)/2] dx$

$= int_(0)^(2) [(16-8x) - (8x-4x^2) - (8 - 8x + 2x^2)] dx$

$= int_(0)^(2) 16 - 8x - 8x + 4x^2 - 8 + 8x - 2x^2 dx$

Finalmente, a integral em relação a $x$ é mais fácil, com apenas uma variável para lidar.

$= int_(0)^(2) 16 + 2x^2 - 8x - 8dx$

$= |[16x + 2/3x^3 - 4x^2 - 8x]|_(0)^(2)$

$= [16(2) + 2/3(2)^3 - 4(2)^2 - 8(2)] - cancel([16(0) + 2/3(0)^3 - 4(0)^2 - 8(0)])$

$= 32 + 16/3 - 16 - 16$

$= color(blue)(16/3)$

... que combina com a abordagem visual mais intuitiva!