Quantos números entre 1 e 100 (inclusive) são divisíveis por 3 ou 2?

Aqui está uma boa oportunidade para aprender sobre inclusão-exclusão. Não é nada sofisticado, mas se você está fora para "contar" algo complicado, divida em problemas mais fáceis que você pode contar. O truque é saber se já contou tudo o que precisa - demasiadas vezes, ou não o suficiente?

e coloque os nossos números nele. Todos os números divisíveis por 2, vamos colocar no círculo esquerdo. Todos os números divisíveis por 3, vão para a direita. E - sem surpresa - haverá alguns números em ambos.

O que vai no círculo da esquerda? 2, 4, 6, ... espero que não seja surpresa - há 50 números no círculo esquerdo.

O que vai no círculo direito? 3, 6, 9, ... novamente, espero que seja bastante evidente que há 33 números no círculo direito.

Então, 50+33, certo? Bem, não é bem assim. Haverá alguns números que foram contados duas vezes, os de ambos os círculos, divisíveis por 2 e 3. Muito bem, nós transformamos um problema sobre ou em um problema sobre e. Então, que números vão na área vermelha? Aqueles divisíveis por 6. 6, 12, .... 16 desses. Os nossos 50+33 contaram estes números duas vezes. Para voltar a contá-los uma vez, temos de os subtrair. 50 + 33 - 16 = 67.

O princípio da inclusão-exclusão pode ser usado com qualquer número de "propriedades" - suponha que existam objetos [matemática]N[/math], cada um deles podendo ter qualquer (ou todas) propriedades [matemática]P[/math]. Normalmente é muito mais fácil contar quantos objetos têm alguma combinação conhecida ("e"), ao invés de várias opções ("ou") - mas a segunda pergunta pode ser respondida pela adição e subtração das combinações corretas do primeiro.