O que quer dizer n!?

A expressão [matemática]n![/math] é definida para cada número natural [matemática]n[/math], ou seja, [matemática]n[/math] um inteiro não-negativo. Pronuncia-se "[matemática]n[/math] factorial".

A definição formal é por recursividade

[matemática]0!=1,\qquad (n+1)!=(n+1)\cdot n![/math]

Thus [math]1!=1\cdot0!=1[/math], [math]2!=2\cdot1!=2[/math], [math]3!=3\cdot2!=6[/math] e assim por diante.

Ao expandir a definição recursiva, vemos, por exemplo, que

[matemática]7!=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=5040[/math]

De certeza, a definição formal veio muito mais tarde do que o conceito, que tem a ver com permutações. Há apenas uma forma de definir zero elementos; a mesma para um elemento. Para dois elementos, digamos [matemática]a[/math] e [matemática]b[/math], temos duas maneiras, a saber [matemática]ab[/math] e [matemática]ba[/math].

Como podemos fazer com três elementos [matemática]a,b,c[/math]? Considere as duas permutações anteriores e imagine inserir placeholders entre os dois objetos e também na cabeça e na cauda:

[math].a.b. \qquad .b.a.Então o terceiro elemento pode ser colocado em qualquer um dos "lugares livres": conduzindo a

p>[math]>begin{gather]|abc|quad acb\quad acb\quad bac |quad bca |quad cba{gather}[/math]

Recebemos seis permutações, três para uma permutação de dois objetos.

Se passarmos para quatro, podemos fazer o mesmo, então há [matemática]4\postos6=24[/math] permutações.

Você vê que em cada estágio multiplicamos o número anterior de permutações pelo número de objetos no estágio.

Com zero objetos, temos um espaço reservado: [matemática]1!=1\cdot0![/math]; com um objeto há dois espaços reservados: [matemática]2!=2\cdot1![/math] e assim por diante, o que justifica a definição recursiva no início.

Mais formalmente, uma permutação num conjunto finito [matemática]A[/math] é um mapa bijectivo [matemática]f\c A[/math]. The number of permutations on a set of [math]n[/math] elements is [math]n![/math]

You will find informal definitions such as

[math]n!=n(n-1)\dotsm 3\cdot2\cdot1[/math]

which is just the same as the above, albeit less rigorous.