Os americanos, em 1776, tinham sotaque britânico?

No.

É evidente, pelos relatos do período, que eles não't soam britânicos. Canadenses e americanos falavam quase indistintamente naquela época (hoje o inglês canadense e americano ainda estão em um dialeto contínuo) e depois da Revolução Americana, o governador do Canadá se sentiu muito ameaçado por seus súditos que soavam americanos, que ele declarou ter recebido suas características fonológicas de "South of the Line" em cartas de reclamação dirigidas ao governo britânico (Wolfram & Schilling-Estes 1998).

E não... O inglês "americano" não está mais próximo do inglês falado no século 18 do que o inglês "britânico" (usando os termos "American English" e "British English" ironicamente porque é muito mais complicado do que isso). Ambas as áreas dialectadas divergiram do Inglês Moderno e existem muitos dialectos britânicos e americanos que partilham características como rhoticity.

Both American and British English have dialects that are rhotic and non-rhotic:

White=non-rhotic (não pronuncia r)
Red=rhotic (pronuncia r)

Aqui está a propagação do não-rótico vs rótico na Inglaterra:

Vemos que os dialectos róticos estão mais difundidos nos EUA, mas nem os róticos nem os não-róticos são características exclusivamente americanas.

As colónias originais dos EUA e do Canadá foram colonizadas por pessoas de diferentes áreas do Reino Unido. Os falantes da Nova Inglaterra tenderam a ser do leste da Inglaterra, enquanto os falantes da Pensilvânia vieram originalmente do oeste da Inglaterra. As colónias foram inicialmente colonizadas por pessoas que vinham em grupos e ondas em vez de vindas de todo o lado.

Não havia, e ainda não há, nenhuma versão "americana" ou "britânica" de inglês. Ambas as áreas têm diversidade dialetal, e os EUA tiveram a maior parte da sua diversidade desde o assentamento inicial.

Num mapa de Dialetos Norte-Americanos, a diversidade aumenta quanto mais a leste você olha (de American English Dialects ):

Para uma versão completa veja American English Dialects

Discordo deste artigo que afirma que o inglês americano está muito mais próximo de como o inglês deve soar, e que a não-hoticidade foi artificialmente criada por falantes de classe alta para se distinguir.

/ɹ/ é frequentemente menos sonoro pós vocal em todos os dialectos de inglês, incluindo o inglês americano. Ela foi apagada inteiramente por causa da mudança fonética e fonológica ao longo do tempo, combinada com a marcação.

Nos EUA os dialetos não-róticos são mais estigmatizados, enquanto que no Reino Unido os dialetos róticos são estigmatizados. As realidades sociolinguísticas em torno das duas variantes eram apenas diferentes em cada área.

Fala não-rótica não é certamente vista como "classe alta" no inglês americano, pelo menos no contexto dos dialectos do inglês americano.

Uma das poucas mudanças consonantais maiores que todos os dialectos americanos e canadianos partilham é o yod-deletion. Falantes de inglês americano e canadense tendem a apagar /j/ em grupos de consoantes antes de /u/ exceto com labials.

Eu digo poucos [fju] e mula [mjul] mas eu digo notícias [nuz] e terça-feira [tuzdej].

Esta característica obviamente não é conservadora, mas inovadora. A maioria dos dialetos do Reino Unido, Austrália e Nova Zelândia são mais conservadores com isso e palatabilizam paradas ou os afiguram:
tuesday é [tʲuzdej] ou [tʃuzdej].

Wolfram, W. e N. Schilling-Estes. (1998). Inglês Americano. Malden, Mass.: Blackwell Publishers Inc