Qual é a derivada de #sinh (x) #?

#(d(sinh(x)))/dx = cosh(x)#

Prova: √Č √ļtil observar que #sinh(x):=(e^x-e^-x)/2# e #cosh(x):=(e^x+e^-x)/2#. Podemos nos diferenciar daqui usando o regra do quociente ou de regra de soma. Vou usar a regra da soma primeiro:
#sinh(x) = (e^x-e^-x)/2#
#= (e^x)/2-(e^-x)/2#
#=>(d(sinh(x)))/dx = d/dx((e^x)/2-(e^-x)/2)#
#=d/dx(e^x/2)-d/dx(e^-x/2)# pela regra da soma
#=e^x/2-(-e^x/2)# pela diferencia√ß√£o b√°sica de fun√ß√Ķes exponenciais
#=(e^x+e^-x)/2 = cosh(x).#

A regra do quociente é igualmente fácil:
Deixei #u=e^x-e^-x# e #v=2#
Conseq√ľentemente #(du)/dx=e^x+e^-x# (pela regra da soma e diferencia√ß√£o b√°sica de fun√ß√Ķes exponenciais)
e #(dv)/dx=0#
Lembrando que #(d(u/v))/dx = (v((du)/dx)-u((dv)/dx))/v^2#

so #(d(sinh(x)))/dx=(2*(e^x+e^-x)-0)/2^2#
#=(2*(e^x+e^-x))/4#
#=(e^x+e^-x)/2=cosh(x).#