Qual é o limite quando x se aproxima do infinito de #ln (x) #?
#lim_(xrarroo)lnx=oo#
Para ver isso, usaremos:
#lnx=int_1^x1/tdt#
e
#int_a^bf(t) dt = int_a^c f(t) dt + int_c^bf(t) dt #
e
Se, em #[a, b]# temos #f(t)>=m#, Em seguida #int_a^b f(t)dt >=(b-a)*m#
Vamos olhar para os intervalos do formulário: #[2^n, 2^(n+1)]#
On #[1, 2]#, temos #1/t >= 1/2#, assim
#int_1^2 1/tdt >= (2-1)*1/2=1/2#
E entao, #ln2 >= 1/2#
On #[2, 4]#, temos #1/t >= 1/4#, assim
#int_1^4 1/tdt=int_1^2 1/tdt+int_2^4 1/tdt >= 1/2+(4-2)*1/4=1/2+1/2=1#
E, #ln 4 >= 2/2 =1#
.
Em cada #[2^n, 2^(n+1)]#, temos #1/t >= 1/(2^(n+1)# Portanto, a integral adicional #int_(2^n)^(2^(n+1)) 1/t dt# adiciona mais de
#(2^(n+1)-2^n) * 1/(2^(n+1)) = [2^n(2-1)] * 1/2^(n+1)=(2^n)/2^(n+1)=1/2#
E entao, #ln (2^(n+1)) = int_1^(2^(n+1)) 1/t dt >= (n+1)/2#
Assim como #xrarroo#, temos #int_1^x 1/t dt rarr oo#.
Como essa integral é #ln x#, temos #lim_(xrarroo)lnx=oo#