Qual é a derivada de $y = arccos (x)$ $y = arccos (x)$ ?

A resposta é:

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ $dy/dx = -1/(sqrt(1-x^2))$

Essa identidade pode ser comprovada facilmente aplicando-se $cos$ $cos$ para ambos os lados da equação original:

1). $y = arccos x$ $y = arccosx$

2). $cos y = cos (arccos x)$ $cos y = cos(arccosx)$

3). $cos y = x$ $cos y = x$

Continuamos usando diferenciação implícita, lembrando-se de usar o regra da cadeia on $cos y$ $cosy$ :

4). $- sin y \frac{d y}{d x} = 1$ $-siny dy/dx = 1$

Resolva para $\frac{d y}{d x}$ $dy/dx$ :

5). $\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{sin y}$ $dy/dx = -1/siny$

Agora, a substituição com nossa equação original produz $\frac{d y}{d x}$ $dy/dx$ em termos de $x$ $x$ :

6). $\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{sin (arccos x)}$ $dy/dx = -1/sin(arccosx)$

No começo, isso pode não parecer tão bom assim, mas pode ser simplificado se alguém recordar a identidade
$sin (arccos x) = cos (arcsin x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ $sin(arccosx) = cos(arcsinx) = sqrt(1 - x^2)$ .

7). $\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ $dy/dx = -1/sqrt(1 - x^2)$

Esta é uma boa definição para memorizar, juntamente com $\frac{d}{d x} [arcsin x]$ $d/dx[arcsin x]$ e $\frac{d}{d x} [arctan x]$ $d/dx[arctan x]$ , uma vez que aparecem com frequência em problemas avançados de diferenciação.

Qual é a derivada de y = arccos (x) y=arccos(x) y = arccos (x) ?

Qual é a derivada de $y = arccos (x)$ $y = arccos (x)$ ?