Qual é a diferença entre diferenciação implícita e explícita?

#y = -3/5x+7/5# dá #y# explicitamente em função de #x#.

#3x+5y=7# dá exatamente a mesma relação entre #x# e #y#, mas a função está implícita (oculta) na equação. Para tornar a função explícita, resolvemos #x#

In #x^2+y^2=25#, #y# não é uma função de #x#. No entanto, existem duas funções implícitas na equação. Podemos tornar explícitas as funções, resolvendo por #y#.

#y = +- sqrt(25-x^2)# é equivalente à equação acima e possui funções 2 que não são muito difíceis de tornar explícitas:

#y=sqrt(25-x^2)# dá #y# como a função de #x# e

#y=-sqrt(25-x^2)# dá #y# como uma função diferente de #x#.

Podemos diferenciar as apresentações implícitas ou explícitas.

Diferenciando implicitamente (deixando as funções implícitas) obtemos

#2x+2y dy/dx = 0# #" "# so #" "# #dy/dx = -x/y#

O #y# na fórmula do derivado é o preço que pagamos por não tornar explícita a função. Ele substitui a forma explícita da função, seja ela qual for.

Para se qualificar para o #y=sqrt(25-x^2)#, Nós temos #dy/dx = - x/sqrt(25-x^2)# (use a regra de energia e corrente) e

para #y= - sqrt(25-x^2)#, Nós temos #dy/dx = x/sqrt(25-x^2)#.

A equação #y^5+4x^2y^2-3y+7x=28 # não pode ser resolvido algebricamente por #y#, (ou de qualquer forma, algumas equações do décimo nono grau não podem ser resolvidas), mas existem várias funções de #x# implícito na equação. Você pode vê-los no gráfico da equação (mostrado abaixo).

graph{y^5+4x^2y^2-3y+7x=28 [-7.14, 6.91, -4.66, 2.36]}

Podemos cortar o gráfico em pedaços, cada um dos quais é o gráfico de alguma função de #x# em algum domínio.

Diferenciação implícita nos permite encontrar a (s) derivada (s) de #y# em relação a #x# sem explicitando as funções. Fazendo isso, podemos encontrar a inclinação da linha tangente ao gráfico no ponto #(1,2)#.