Qual é a diferença entre uma sequência e uma série?

Uma sequência é uma lista de valores considerados como termos individuais.

Uma série é como uma sequência, mas, em vez de os termos serem separados, estamos interessados ​​em sua soma.

Portanto, uma sequência de exemplo pode ser:

#1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32,...#

com as séries correspondentes:

#1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+...#

#color(white)()#
Nota de rodapé

De maneira mais geral e formal, poderíamos dizer que uma sequência é um mapeamento de um conjunto de índices #I# em um conjunto de valores #A#, Onde #I# é tipicamente o conjunto de números inteiros positivos #NN_1# ou um subconjunto finito de todos os números inteiros positivos até um determinado valor.

Portanto, uma sequência finita de #4# números podem ser descritos como um mapeamento de #{1, 2, 3, 4}# para #RR# em que:

#1 rarr 1#

#2 rarr 1/2#

#3 rarr 1/4#

#4 rarr 1/8#

Nós descreveríamos isso mais brevemente como a sequência finita:

#1, 1/2, 1/4, 1/8#

ou diga:

#a_1 = 1#, #a_2 = 1/2#, #a_3 = 1/4#, #a_4 = 1/8#.

Uma sequência infinita é (normalmente) um mapeamento de #NN_1# para um conjunto #A#, que pode ser definido por uma regra. Por exemplo:

#a_n = 2^(1-n)#

descreve um mapeamento de #NN_1 -> RR# representando a sequência:

#1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32,...#

#color(white)()#
Nota de rodapé avançada

Por que entrar em todo esse formalismo?

Por um lado, permite generalizar além das seqüências contáveis, a fim de provar resultados sobre conjuntos infinitos maiores.

Para um exemplo realmente assustador, consulte https://socratic.org/s/aBqGmvDC