Qual é a integral de #int sin ^ 4 (x) dx #?

Essa integral é principalmente sobre reescrita inteligente de suas funções. Como regra geral, se a potência é uniforme, usamos a fórmula de ângulo duplo. A fórmula de ângulo duplo diz:
#sin^2(theta)=1/2(1-cos(2theta))#

Se dividirmos nossa integral assim,
#int sin^2(x)*sin^2(x) dx#

Podemos usar a fórmula de ângulo duplo duas vezes:
#int 1/2(1-cos(2x))*1/2(1-cos(2x)) dx#

Ambas as partes são iguais, então podemos colocá-lo como um quadrado:
#int (1/2(1-cos(2x)))^2 dx#

Em expansão, obtemos:
#int 1/4(1-2cos(2x)+cos^2(2x)) dx#

Podemos então usar a outra fórmula de ângulo duplo
#cos^2(theta)=1/2(1+cos(2theta))#
reescrever o último termo da seguinte maneira:
#1/4int 1-2cos(2x)+1/2(1+cos(4x)) dx=#

#=1/4(int 1 dx-int 2cos(2x) dx+1/2int 1+cos(4x) dx)=#

#=1/4(x-int 2cos(2x) dx+1/2(x+int cos(4x) dx))#

Vou chamar a integral esquerda no parêntese Integral 1 e a direita no Integral 2.

1 integral
#int 2cos(2x) dx#

Olhando para a integral, temos a derivada do interior, #2# fora da função, e isso deve tocar imediatamente uma campainha que você deve usar na substituição u.

Se deixarmos #u=2x#, a derivada se torna #2#, então dividimos por #2# para integrar com relação a #u#:
#int (cancel(2)cos(u))/cancel(2) du#

#int cos(u) du=sin(u)=sin(2x)#

2 integral
#int cos(4x) dx#

Não é tão óbvio aqui, mas também podemos usar a substituição u aqui. Nós podemos deixar #u=4x#, e o derivado será #4#:
#1/4int cos(u) dx=1/4sin(u)=1/4sin(4x)#

Concluindo a integral original
Agora que conhecemos o Integral 1 e o Integral 2, podemos conectá-los novamente à expressão original para obter a resposta final:
#1/4(x-sin(2x)+1/2(x+1/4sin(4x)))+C=#

#=1/4(x-sin(2x)+1/2x+1/8sin(4x))+C=#

#=1/4x-1/4sin(2x)+1/8x+1/32sin(4x)+C=#

#=3/8x-1/4sin(2x)+1/32sin(4x)+C#