Qual é a integral de `int sin ^ 4 (x) dx`?

Essa integral é principalmente sobre reescrita inteligente de suas funções. Como regra geral, se a potência é uniforme, usamos a fórmula de ângulo duplo. A fórmula de ângulo duplo diz:
`sin^2(theta)=1/2(1-cos(2theta))`

Se dividirmos nossa integral assim,
`int sin^2(x)*sin^2(x) dx`

Podemos usar a fórmula de ângulo duplo duas vezes:
`int 1/2(1-cos(2x))*1/2(1-cos(2x)) dx`

Ambas as partes são iguais, então podemos colocá-lo como um quadrado:
`int (1/2(1-cos(2x)))^2 dx`

Em expansão, obtemos:
`int 1/4(1-2cos(2x)+cos^2(2x)) dx`

Podemos então usar a outra fórmula de ângulo duplo
`cos^2(theta)=1/2(1+cos(2theta))`
reescrever o último termo da seguinte maneira:
`1/4int 1-2cos(2x)+1/2(1+cos(4x)) dx=`

`=1/4(int 1 dx-int 2cos(2x) dx+1/2int 1+cos(4x) dx)=`

`=1/4(x-int 2cos(2x) dx+1/2(x+int cos(4x) dx))`

Vou chamar a integral esquerda no parêntese Integral 1 e a direita no Integral 2.

1 integral
`int 2cos(2x) dx`

Olhando para a integral, temos a derivada do interior, `2` fora da função, e isso deve tocar imediatamente uma campainha que você deve usar na substituição u.

Se deixarmos `u=2x`, a derivada se torna `2`, então dividimos por `2` para integrar com relação a `u`:
`int (cancel(2)cos(u))/cancel(2) du`

`int cos(u) du=sin(u)=sin(2x)`

2 integral
`int cos(4x) dx`

Não é tão óbvio aqui, mas também podemos usar a substituição u aqui. Nós podemos deixar `u=4x`, e o derivado será `4`:
`1/4int cos(u) dx=1/4sin(u)=1/4sin(4x)`

Concluindo a integral original
Agora que conhecemos o Integral 1 e o Integral 2, podemos conectá-los novamente à expressão original para obter a resposta final:
`1/4(x-sin(2x)+1/2(x+1/4sin(4x)))+C=`

`=1/4(x-sin(2x)+1/2x+1/8sin(4x))+C=`

`=1/4x-1/4sin(2x)+1/8x+1/32sin(4x)+C=`

`=3/8x-1/4sin(2x)+1/32sin(4x)+C`