Qual é a integral de #int [(xe ^ (2x)) / (2x + 1) ^ 2] dx #?

Outro método:

#I=int(xe^(2x))/(2x+1)^2dx#

Nós podemos tentar Integração por partes com #u=e^(2x)# e #dv=x/(2x+1)^2dx#.

Observe que #v=intx/(2x+1)^2dx#. De locação #t=2x+1#, isso implica que #x=1/2(t-1)# e que #dt=2dx=>dx=1/2dt#, assim #v=int(1/2(t-1))/t^2 1/2dt=1/4int(1/t-1/t^2)dt=1/4lnabst+1/(4t)...#

Tb, #du=2e^(2x)dx#.

Então:

#I=1/4e^(2x)(lnabs(2x+1)+1/(2x+1))-int2e^(2x)1/4(lnabs(2x+1)+1/(2x+1))dx#

#I=e^(2x)/4lnabs(2x+1)+e^(2x)/(4(2x+1))-1/2inte^(2x)lnabs(2x+1)dx-1/2inte^(2x)/(2x+1)dx#

Tentando IBP na segunda integral, deixe:

#u=-1/2e^(2x)=>du=-e^(2x)dx#
#dv=dx/(2x+1)=>v=1/2lnabs(2x+1)#

Assim:

#I=e^(2x)/4lnabs(2x+1)+e^(2x)/(4(2x+1))-1/2inte^(2x)lnabs(2x+1)dx-e^(2x)/4lnabs(2x+1)+1/2inte^(2x)lnabs(2x+1)dx#

#I=e^(2x)/(4(2x+1))+C#