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Qual é a série Taylor de f (x) = arctan (x) ?

f(x)=sum_{n=1}^infty(-1)^n{x^{2n+1}}/{2n+1}

Vamos ver alguns detalhes.

f(x)=arctanx

f'(x)=1/{1+x^2}=1/{1-(-x^2)}

Lembre-se de que a série de potências geométricas

1/{1-x}=sum_{n=0}^infty x^n

substituindo x by -x^2,

Rightarrow 1/{1-(-x^2)}=sum_{n=0}^infty(-x^2)^n=sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}

Assim,

f'(x)=sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}

Ao integrar,

f(x)=int sum_{n=0}^infty(-1)^nx^{2n}dx

colocando o sinal integral dentro da soma,

=sum_{n=0}^infty int (-1)^n x^{2n}dx

pela regra do poder,

=sum_{n=1}^infty(-1)^n{x^{2n+1}}/{2n+1}+C

Desde f(0)=arctan(0)=0,

f(0)=sum_{n=1}^infty(-1)^n{(0)^{2n+1}}/{2n+1}+C=C Rightarrow C=0

Conseqüentemente,

f(x)=sum_{n=1}^infty(-1)^n{x^{2n+1}}/{2n+1}