Qual é o limite quando x se aproxima do infinito negativo de #x + sqrt (x ^ 2 + 2x) #?

Primeiro, tentaremos inserir o valor:
#lim_{x to -oo}x+sqrt(x^2+2x) = -oo + sqrt(oo-oo)#
Já estamos enfrentando um problema: simplesmente não é permitido ter #oo-oo#, é como dividir por zero.
Precisamos tentar uma abordagem diferente.

Sempre que vejo esse tipo de limite, tento usar um truque:
#lim_{x to -oo}x+sqrt(x^2+2x)#
#= lim_{x to -oo}x+sqrt(x^2+2x)*(x-sqrt(x^2+2x))/(x-sqrt(x^2+2x))#
Estes são os mesmos porque o fator com o qual estamos nos multiplicando é essencialmente #1#.
Por que estamos fazendo isso? Porque existe uma fórmula que diz: #(a-b)(a+b) = a^2-b^2#
Nesse caso #a = x# e #b = sqrt(x^2+2x)#
Vamos aplicar esta fórmula:
#lim_{x to -oo}(x^2-(sqrt(x^2+2x))^2)/(x-sqrt(x^2+2x))#
#= lim_{x to -oo}(x^2-x^2-2x)/(x-sqrt(x^2+2x))#
#= lim_{x to -oo}(-2x)/(x-sqrt(x^2+2x))#

Agora vamos usar outro truque. Nós vamos usar este, porque queremos obter o #x^2# fora da raiz quadrada:
#lim_{x to -oo}(-2x)/(x-sqrt(x^2(1+2/x))#
Se você olhar com cuidado, verá que é a mesma coisa.
Agora, você pode dizer que #sqrt(x^2) = x#, mas você tem que lembrar que #x# é um número negativo. Porque estamos pegando a raiz quadrada positiva, #sqrt(x^2) = -x# nesse caso.
#= lim_{x to -oo}(-2x)/(x+xsqrt(1+2/x))#
#= lim_{x to -oo}(-2x)/(x(1+sqrt(1+2/x)))#
Podemos cancelar o #x#:
#= lim_{x to -oo}(-2)/(1+sqrt(1+2/x))#
E agora, podemos finalmente inserir o valor:

#= -2/(1+sqrt(1+2/-oo))#

Um número dividido pelo infinito, é sempre #0#:
#= -2/(1+sqrt(1+0)) = -2/(1+1) = -2/2 = -1#

Esta é a resposta final.
Espero que ajude.