Se a densidade do gás for # "4 kg / m" ^ 3 # e sua pressão for #1.2 xx 10 ^ 5 "N / m" ^ 2 #, como faço para calcular a velocidade quadrática média da raiz?

Eu tenho #"300 m/s"#.


A equação para o velocidade quadrática média quadrática é:

#mathbf(upsilon_("RMS") = sqrt((3RT)/("M"_m))#

where:

  • #R# is the universal gas constant, #"8.314472 J/mol"cdot"K"#, where #"1 J" = "1 kg"cdot"m"^2"/s"^2#.
  • #T# is the temperature in #"K"#.
  • #"M"_m# is the molar mass of the gas in #"kg/mol"# (NOT #"g/mol"#!).

Dado que você não recebeu nenhuma identidade para o gás, essa questão provavelmente está assumindo idealidade ou, de alguma forma, as variáveis ​​são canceladas para que você não precise da massa molar.

Digamos que consideramos o lei dos gases ideais:

#PV = nRT#

Desde que você recebeu o densidade, #rho = "4 kg/m"^3#e uma pressão, #1.2xx10^5 "N/m"^2# (Ou #"Pa"#), aqui está uma maneira de fazer isso.

#color(green)((PV)/n = RT)#

Agora você pode substituir na equação de velocidade RMS.

#upsilon_("RMS") = sqrt((3PV)/(nM_m))#

...Mas espere! Vamos considerar esse pedaço da equação por um minuto.

#V/(nM_m) stackrel(?)(=) 1/rho# #larr# reciprocal density! AHA!

O lado esquerdo tem unidades de #"L"/("mol"cdot"kg/mol")#, que cancela para dar #"L"/"kg"# (ou seja, as unidades da densidade recíproca)!

Então, o que temos no final é:

#color(blue)(upsilon_("RMS")) = sqrt((3RT)/(M_m))#

#= sqrt((3PV)/(nM_m))#

#= sqrt((3P)/(rho))#

#= sqrt((3*(1.2xx10^5 "N")/"m"^2)/(("4 kg")/"m"^3))#

#= sqrt((3*(1.2xx10^5 "N"))/cancel("m"^2)*("1 m"^(cancel(3)^(1)))/("4 kg"))#

#= sqrt((3*(1.2xx10^5 "N"cdot"m"))/("4 kg"))#

#= sqrt((3*(1.2xx10^5 cancel"kg"cdot"m"^2"/s"^2))/("4" cancel"kg"))#

#= sqrt(3/4*(1.2xx10^5 "m"^2"/s"^2))#

#=# #color(blue)("300 m/s")#

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