Um holofote no chão brilha na parede 12 m. Se um homem 2 m de altura anda dos holofotes em direção ao prédio a uma velocidade de 1.6 m / s, com que rapidez a duração de sua sombra no prédio diminui quando ele está 4 m do edifício?

$dy/dt=0.6$ m / s

insira a fonte da imagem aqui

No momento especificado no problema, o homem está parado no ponto $D$ com a cabeça no ponto $E$ .

Nesse momento, sua sombra na parede é $y=BC$ .

Os dois triângulos retângulos $DeltaABC$ e $DeltaADE$ são triângulos semelhantes. Como tal, seus lados correspondentes têm proporções iguais:

$(AD)/(AB)=(DE)/(BC)$

$8/12=2/y, :. y=3$ metros

Se considerarmos a distância do homem do edifício como $x$ então a distância do centro das atenções para o homem é $12-x$ .

$(12-x)/12=2/y$

$1-1/12x=2*1/y$

Vamos dar derivadas de ambos os lados:

$-1/12dx=-2*1/y^2dy$

Vamos dividir os dois lados por $dt$ :

$-1/12*dx/dt=-2/y^2*dy/dt$

No momento especificado:

$dx/dt=1.6$ m / s

$y=3$

Vamos conectá-los:

$-1/12(1.6)=-2/9*dy/dt$

$dy/dt=(1.6/12)/(2/9)=1.6/12*9/2=0.6$ m / s

Essa é a taxa na qual o comprimento da sombra está diminuindo no momento especificado.