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Como você encontra a série Taylor de f (x) = sin (x) ?

Série de Taylor f(x)=sin(x) at x=0 is
sum_{n=0}^{infty}(-1)^n{x^{2n+1}}/{(2n+1)!}.

Série Taylor para f(x) at x=a pode ser encontrado por
f(x)=sum_{n=0}^{infty}{f^{(n)}(a)}/{n!}x^n

Então, precisamos encontrar derivadas de f(x)=sin(x).
f(x)=sin(x) Rightarrow f(0)=0
f'(x)=cos(x) Rightarrow f'(0)=1
f''(x)=-sin(x) Rightarrow f''(0)=0
f'''(x)=-cos(x) Rightarrow f'''(0)=-1
f^{(4)}(x)=sin(x) Rightarrow f^{(4)}(0)=0
cdots

Desde f^{(4)}(x)=f(x), o ciclo de {0, 1, 0, -1} se repete, o que significa que toda derivada de grau par fornece 0 e que toda derivada de grau ímpar alterna entre 1 e -1. Então nós temos
f(x)={1}/{1!}x^1+{-1}/{3!}x^3+{1}/{5!}x^5+cdots
=sum_{n=0}^{infty}(-1)^n{x^{2n+1}}/{(2n+1)!}