Como você encontra as equações das linhas tangentes no ponto em que a curva se cruza # x = t ^ 2-t # e # y = t ^ 3-3t-1 #?

O gradiente da tangente a uma curva em qualquer ponto específico é dado pela derivada da curva naquele ponto. (Se necessário, o normal é perpendicular à tangente, portanto o produto de seus gradientes é #-1#).

Nós temos:

# x = t^2-t #
# y = t^3-3t-1 #

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas onde a curva se cruza. Nesse caso, haverá um par ordenado #t_1=alpha# e #t_2=beta# com #t_1 ne t_2# que simultaneamente satisfazem as equações paramétricas, portanto:

# alpha^2-alpha = beta^2-beta# ..... [1]
# alpha^3-3alpha-1 = beta^3-3beta-1# ..... [2]

De [1], temos:

# alpha^2-beta^2 =alpha -beta #
# :. (alpha+beta)(alpha-beta)=alpha -beta #
# :. alpha+beta= 1 #
# :. beta =1-alpha#

De [2], temos:

# alpha^3-beta^3 =3alpha -3beta#
# :. (alpha - beta)(alpha^2 + alpha beta + beta^2) = 3(alpha -beta)#
# :. alpha^2 + alpha beta + beta^2 = 3#

# :. alpha^2 + alpha (1-alpha) + (1-alpha)^2 = 3#

# :. alpha^2 + alpha -alpha^2 + 1-2alpha+alpha^2 = 3#
# :. alpha^2-alpha-2 = 0#
# :. (alpha+1)(alpha-2) = 0#
# :. alpha=-1,2#

E com esses valores de #t#temos:

# t=-1 => x=2,y=1 #
# t= 2 => x=2,y=1 #

Assim, a curva se toca quando #t=-1,2# correspondente à coordenada retangular #(2,1)#

Então diferenciando implicitamente wrt #t#e aplicando o regra da cadeia, nos dá:

# dx/(dt) = 2t # and # dy/(dt) = 3t^2-3 #

# dy/dx = (dy//dt)/(dx//dt) = (3t^2-3)/(2t) #

Então, na coordenada paramétrica #t=-1#, temos;

# m_1 = dy/dx = (3-3)/(2) = 0#

Então a tangente passa #(2,1)# e tem gradiente #m_1=0#, usando o formulário de ponto / inclinação #y-y_1=m(x-x_1)# a equação que procuramos é;

# y - 1 = 0 #
# :. y = 1 #

E, na coordenada paramétrica #t=2#, temos;

# m_2 = dy/dx = (12-3)/(4) = 9/4#

Então a tangente passa #(2,1)# e tem gradiente #m_2=9/4#, usando o formulário de ponto / inclinação #y-y_1=m(x-x_1)# a equação que procuramos é;

# y - 1 = 9/4(x-2) #
# :. y - 1 = 9/4x-9/2 #
# :. y = 9/4x-7/2 #