Como você encontra o intervalo de convergência para uma série de potências?

O intervalo de convergência de uma série de potências é o conjunto de todos os valores x para os quais a série de potências converge.

Vamos encontrar o intervalo de convergência de $sum_{n=0}^infty{x^n}/n$ .
Pelo teste da relação,
$lim_{n to infty}|{a_{n+1}}/{a_n}| =lim_{n to infty}|x^{n+1}/{n+1}cdotn/x^n| =|x|lim_{n to infty}n/{n+1}$
$=|x|cdot 1=|x|<1 Rightarrow -1 < x < 1$ ,
o que significa que a série de potência converge pelo menos em $(-1,1)$ .

Agora, precisamos verificar sua convergência nos pontos de extremidade: $x=-1$ e $x=1$ .

If $x=-1$ , a série de potência se torna a alternada série harmônica
$sum_{n=0}^infty(-1)^n/n$ ,
que é convergente. Tão, $x=1$ Deveria ser incluído.

If $x=1$ , a série de potências se torna a série harmônica
$sum_{n=0}^infty1/n$ ,
que é divergente. Tão, $x=1$ deve ser excluído.

Portanto, o intervalo de convergência é $[-1,1)$ .