Como você encontra o intervalo de convergência para uma série de potências?
O intervalo de convergência de uma série de potências é o conjunto de todos os valores x para os quais a série de potências converge.
Vamos encontrar o intervalo de convergência de sum_{n=0}^infty{x^n}/n∞∑n=0xnn.
Pelo teste da relação,
lim_{n to infty}|{a_{n+1}}/{a_n}|
=lim_{n to infty}|x^{n+1}/{n+1}cdotn/x^n|
=|x|lim_{n to infty}n/{n+1}
=|x|cdot 1=|x|<1 Rightarrow -1 < x < 1,
o que significa que a série de potência converge pelo menos em (-1,1).
Agora, precisamos verificar sua convergência nos pontos de extremidade: x=-1 e x=1.
If x=-1, a série de potência se torna a alternada série harmônica
sum_{n=0}^infty(-1)^n/n,
que é convergente. Tão, x=1 Deveria ser incluído.
If x=1, a série de potências se torna a série harmônica
sum_{n=0}^infty1/n,
que é divergente. Tão, x=1 deve ser excluído.
Portanto, o intervalo de convergência é [-1,1).