Como você encontra o limite de ${(ln x)}^{\frac{1}{x}}$ $(ln x) ^ (1 / x)$ quando x se aproxima do infinito?

Responda:

$lim x \to \infty {(ln (x))}^{\frac{1}{x}} = 1$ $lim_(xrarroo) (ln(x))^(1/x) = 1$

Explicação:

Começamos com um truque bastante comum ao lidar com expoentes variáveis. Podemos pegar o log natural de algo e depois aumentá-lo como expoente da função exponencial sem alterar seu valor, pois são operações inversas - mas isso nos permite usar as regras dos logs de maneira benéfica.

$lim x \to \infty {(ln (x))}^{\frac{1}{x}} = lim x \to \infty exp (ln ({(ln (x))}^{\frac{1}{x}}))$ $lim_(xrarroo) (ln(x))^(1/x) = lim_(xrarroo) exp(ln((ln(x))^(1/x)))$

Usando a regra de expoente de logs:

$= lim x \to \infty exp (\frac{1}{x} ln (ln (x)))$ $=lim_(xrarroo) exp(1/xln(ln(x)))$

Observe que é o expoente que varia conforme $x \to \infty$ $xrarroo$ para que possamos focar nele e mover a função exponencial para fora:

$= exp (lim x \to \infty (\frac{ln (ln (x))}{x}))$ $=exp(lim_(xrarroo)(ln(ln(x))/x))$

Se você observar o comportamento da função logarítmica natural, perceberá que, como x tende ao infinito, o valor da função também tende ao infinito, embora muito lentamente. Quando tomamos $ln (ln (x))$ $ln(ln(x))$ temos uma variável dentro da função log que tende ao infinito muito lentamente, o que significa que temos uma função geral que tende ao infinito EXTREMAMENTE lentamente. O gráfico abaixo varia apenas até $x = 1000$ $x=1000$ mas demonstra o crescimento extremamente lento de $ln (ln (x))$ $ln(ln(x))$ mesmo em comparação com o lento crescimento de $ln (x)$ $ln(x)$ .

insira a fonte da imagem aqui

A partir desse comportamento, podemos inferir que $x$ $x$ exibirá um crescimento assintótico muito mais rápido e, portanto, o limite do expoente será zero. $This means that overall limit = 1.$ $color(blue)("This means that overall limit = 1.")$

Também podemos abordar esse ponto com o governo de L'hopital. Precisamos que o limite esteja em forma indeterminada, ou seja, $\frac{0}{0} or \frac{\infty}{\infty}$ $0/0 or oo/oo$ então verificamos que este é o caso:

$lim x \to \infty ln (ln (x)) = ln (ln (\infty)) = ln (\infty) = \infty$ $lim_(xrarroo)ln(ln(x)) = ln(ln(oo)) = ln(oo) = oo$

$lim x \to \infty x = \infty$ $lim_(xrarroo) x = oo$

Este é realmente o caso, então o limite se torna:

$= exp (lim x \to \infty (\frac{\frac{d}{d x} (ln (ln (x)))}{\frac{d}{d x} x}))$ $=exp(lim_(xrarroo)((d/(dx)(ln(ln(x))))/(d/(dx)x)))$

Diferenciar $y = ln (ln (x))$ $y = ln(ln(x))$ reconhecer que temos $y (u (x))$ $y(u(x))$ e use o regra da cadeia

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}$ $(dy)/(dx) = (dy)/(du)(du)/(dx)$

$u = ln (x) \Rightarrow \frac{d u}{d x} = \frac{1}{x}$ $u = ln(x) implies (du)/(dx) = 1/x$

$y = ln (u) \Rightarrow \frac{d y}{d u} = \frac{1}{u} = \frac{1}{ln (x)}$ $y = ln(u) implies (dy)/(du) = 1/u = 1/(ln(x))$

$therefore (dy)/(dx) = 1/(ln(x))*1/x = 1/(xln(x))$

Derivado de $x$ is $1$ . O limite passa a ser:

$=exp(lim_(xrarroo)((1/(xln(x)))/1)) = exp(lim_(xrarroo)(1/(xln(x))))$

Abordamos que ambas as funções no denominador tendem ao infinito, portanto, temos

$exp(1/oo) = exp(0) = 1$

Como você encontra o limite de (ln x) ^ (1 / x) (lnx)1x (ln x) ^ (1 / x) quando x se aproxima do infinito?

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Explicação:

Como você encontra o limite de ${(ln x)}^{\frac{1}{x}}$ $(ln x) ^ (1 / x)$ quando x se aproxima do infinito?