Como você encontra o limite de # x ^ (sin (x)) # quando x se aproxima do 0?

deixar #L = lim_(x to 0) x^(sin x)#

#implies ln L = ln lim_(x to 0) x^(sin x) #

#= lim_(x to 0) ln x^(sin x)#

#= lim_(x to 0) sinx ln x#

#= lim_(x to 0) (ln x)/(1/(sinx) )#

#= lim_(x to 0) (ln x)/(csc x )#

isso é indeterminado #oo/oo# para que possamos usar a Regra de L'Hôpital

#= lim_(x to 0) (1/x)/(- csc x cot x)#

#=- lim_(x to 0) (sin x tan x)/(x)#

O próximo bit é desnecessário, veja a nota de ratnaker-m abaixo ...

isso agora é indeterminado #0/0# forma para que possamos ir novamente

#ln L =- lim_(x to 0) (cos x tan x + sin x sec^2 x)/(1)#

#= - 0#

Assim:

#L = e^(- 0) = 1#