Como você simplifica $\frac{(2 n)!}{N!}$ $((2n)!) / (N!)$ ?

Existem outras maneiras de escrever, mas nenhuma delas é simplificação.

Embora não haja um simplificação of $\frac{(2 n)!}{n!}$ $((2n)!)/(n!)$ , existem outras maneiras de expressá-lo. Por exemplo

$((2n)!)/(n!) = prod_(k=0)^(n-1)(2n-k) = (2n)(2n-1)...(n+1)$

Isso segue diretamente da definição da função fatorial e do cancelamento de fatores comuns do numerador e denominador.

$((2n)!)/(n!) = 2^nprod_(k=0)^(n-1)(2k+1) = 2^n(1*3*5*...*(2n-1))$

Uma prova curta da identidade:
$((2n)!)/(n!) = 1/(n!)(1*2*3*...*2n)$

$=1/(n!)*(2*4*6*...*2n) (1*3*5*...*(2n-1))$

$=1/(n!)(1*2)(2*2)(3*2)...(n*2)(1*3*5*...*(2n-1))$

$=1/(n!)(1*2*3*...*n)2^n(1*3*5*...*(2n-1))$

$=1/(n!)n!*2^n(1*3*5*...*(2n-1))$

$=2^n(1*3*5*...*(2n-1))$

Qual a melhor forma de usar depende da situação, porém a forma fornecida de

$((2n)!)/(n!)$

é o mais conciso.

Como você simplifica ((2n)!) / (N!) (2n)!N! ((2n)!) / (N!) ?