Como você usa a definição de continuidade e as propriedades dos limites para mostrar que a função #h (t) = (2t-3t ^ 2) / (1 + t ^ 3) # é contínua no número determinado a = 1?

Uma função #f# é contínuo no número #a# se e apenas se #lim_(xrarra)f(x) = f(a)#.

(Para serem iguais, ambos devem existir.)

Nesse problema, precisamos mostrar que, por #h(t) = (2t-3t^2)/(1+t^3)# obtemos #lim_(trarr1)h(t) = h(1)#

As ferramentas com as quais temos que trabalhar são propriedades dos limites. (Estes são bastante padrão, mas se o seu diferir pouco, espero que você ainda possa entender.

#lim_(trarr1)h(t) = lim_(trarr1)(2t-3t^2)/(1+t^3)#

# =(lim_(trarr1)(2t-3t^2))/(lim_(trarr1)(1+t^3))#

se ambos os limites existirem e o limite no denominador não for #0# pela propriedade quociente dos limites

# =(lim_(trarr1)(2t)-lim_(trarr1)(3t^2))/(lim_(trarr1)(1)+lim_(trarr1)(t^3))#

se todos os limites existirem e o denominador não for #0# pelas propriedades da soma e da diferença dos limites

# =(2lim_(trarr1)(t)-3lim_(trarr1)(t^2))/(lim_(trarr1)(1)+lim_(trarr1)(t^3))#

se todos os limites existirem e o denominador não for #0# pela constante propriedade múltipla dos limites

# =(2lim_(trarr1)(t)-3(lim_(trarr1)(t))^2)/(lim_(trarr1)(1)+(lim_(trarr1)(t))^3)#

se todos os limites existirem e o denominador não for #0# pela propriedade de poder dos limites

# = (2(1)-3(1)^2)/((1)+(1)^3)#

Avaliando o limite de uma constante e o limite da função de identidade. Observe que os limites existem e o denominador não é #0#. assim

#lim_(trarr1)h(t) = (2(1)-3(1)^2)/((1)+(1)^3) = h(1)#

Nota sobre este tipo de pergunta
Eu acho que o ponto desse tipo de pergunta não é claro para os alunos, a menos que nós (professores) os explique.

Muitos de nós (professores) fazemos esse tipo de pergunta apenas algumas vezes para tentar ajudar os alunos a conectar as propriedades na lista de propriedades de limites com a (s) maneira (s) em que realmente avaliamos os limites.

Para os alunos, a boa notícia é que geralmente não solicitamos esse nível de detalhe mais de duas vezes.

Portanto, o objetivo desse tipo de pergunta é ajudar os alunos a entender por que podemos avaliar esse limite simplesmente avaliando a função.