Como você usa a diferenciação para encontrar uma representação de série de potência para $f (x) = 1 / (1 + x) ^ 2$ ?

Primeiro, observe que $frac{1}{(1+x)^2}=(1+x)^(-2)=frac{d}{dx}(-(1+x)^{-1})=frac{d}{dx}(-frac{1}{1-(-x)})$ .

Agora use a expansão da série Power $frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+cdots$ , que converge para $|x|<1$ , multiplique tudo por $-1$ e substitua todos os " $x$ é "com" $-x$ é para conseguir

$-frac{1}{1-(-x)}=-1+x-x^2+x^3-x^4+cdots$ , que converge para $|-x|<1 Leftrightarrow |x|<1$ .

Por fim, diferencie esse termo a termo (justificado no interior do intervalo de convergência) para obter

$frac{1}{(1+x)^{2}}=frac{d}{dx}(-1+x-x^2+x^3-x^4+cdots)$

$=1-2x+3x^{2}-4x^{3}+cdots$ .

Isso também converge para $|x|<1$ .

Como você usa a diferenciação para encontrar uma representação de série de potência para f (x) = 1 / (1 + x) ^ 2 f (x) = 1 / (1 + x) ^ 2 ?

Como você usa a diferenciação para encontrar uma representação de série de potência para $f (x) = 1 / (1 + x) ^ 2$ ?