Como você usa a substituição para integrar $sqrt (4-x ^ 2) dx$ ?

Isso pode ser feito a partir da substituição trigonométrica. Note como

$sqrt(a^2 - x^2) prop sqrt(a^2 - a^2sin^2theta) prop sqrt(4 - x^2)$
onde $a = 2$

então deixe:
$x = 2sintheta$
$dx = 2costhetad theta$
$sqrt(4-x^2) = 2costheta$

$=> int 2costheta*2costhetad theta$

$= 4int cos^2thetad theta$

Agora você pode usar a identidade:
$cos^2theta = (1+cos(2theta))/2$

Portanto:
$= 2int d theta + 2int cos(2theta)d theta$

$= 2int d theta + 2*1/2int 2cos(2theta)d theta$

$= 2theta + sin(2theta) + C$

Desde $x = 2sintheta$ , $theta = arcsin(x/2)$ .
Desde $sin(2theta) = 2sinthetacostheta$ :

$sin(2theta) = (xsqrt(4-x^2))/2$

$=> color(blue)(2arcsin(x/2) + (xsqrt(4-x^2))/2 + C)$

Como você usa a substituição para integrar sqrt (4-x ^ 2) dx sqrt (4-x ^ 2) dx ?