O que é uma solução para a equação diferencial # dy / dx = y #?

Se você não está procurando o geral solução, mas apenas um solução, às vezes você pode descobrir equações diferenciais simples como essa pensando por um segundo sobre o que a equação diferencial significa literalmente.

#dy/dx=y#

Estamos procurando uma função, #y#, que possui a propriedade de que o derivado de #y# é igual a #y# si.

Há uma função que você provavelmente aprendeu anteriormente que possui exatamente essa propriedade:

#y = e^x#.

A função #e^x# é tão especial precisamente porque sua derivada também é igual a #e^x#. Assim #y = e^x# é uma solução para a equação diferencial.

Se você também estiver interessado em encontrar todos soluções para este DE, (ou você não está interessado em tentativa e erro), então você pode resolvê-lo por separação de variáveis.

Pense #dy# e #dx# cada um como variáveis ​​discretas. Então você poderia fazer algo como multiplicar os dois lados por #dx# e termine com:

#iff dy=ydx#

E depois divida os dois lados por #y#:

#iff dy/y=dx#

Agora, integre o lado esquerdo #dy# e o lado direito #dx#:

#iff int 1/y dy=int dx#

#iff ln |y|=x+C#

Lembre-se de adicionar a constante de integração, mas precisamos apenas de uma.

Levante os dois lados #e# para cancelar o #ln#:

#iff y=+-e^(x+C)#

Agora, puxando o #C# na frente:

#iff y=+-Ce^x#

Desde #C# pode ser positivo ou negativo, não precisamos realmente do #+-#:

#iff y=Ce^x#

Portanto, existe a nossa solução geral: qualquer múltiplo constante de #e^x# é uma solução para a equação diferencial, que faz sentido.