Para quais valores de r a função y = e ^ (rx) satisfaz a equação diferencial 5y '' + 14y '- 3y = 0?
Responda:
(a) r = 1/5, -3
(b) Mostrado na explicação.
Explicação:
(b) Substituímos y por ae^(r_1 x) + be^(r_2 x). Primeiro, precisamos descobrir os valores para y 'e y' '.
y = ae^(x/5) + be^(-3x)
y '= 1/5 ae^(x/5) - 3 be^(-3x)
y '' = 1/25 ae^(x/5) - 9 be^(-3x)
Agora podemos inserir os valores em nossa equação diferencial 5y '' + 14y '- 3y = 0.
5[1/25 ae^(x/5) - 9 be^(-3x)] + 14[1/5 ae^(x/5) - 3 be^(-3x)] − 3[ae^(x/5) + be^(-3x)] = 0
a[1/5 e^(x/5) + 14/5 e^(x/5) - 3 e^(x/5)] + b[45 e^(-3x) - 42 e^(-3x) - 3 e^(-3x)] = 0
a[3 e^(x/5) - 3 e^(x/5)] + b[45 e^(-3x) - 42 e^(-3x) - 3 e^(-3x)] = 0
a[3 e^(x/5) - 3 e^(x/5)] + b[3 e^(-3x) - 3 e^(-3x)] = 0
a [0] + b [0] = 0
0 = 0
Como as soluções são 0, significa que todos os membros da família de funções em y = ae^(r_1 x) + be^(r_2 x) é uma solução para 5y '' + 14y '- 3y = 0.