Para quais valores de r a função y = e ^ (rx) erx satisfaz a equação diferencial 5y '' + 14y '- 3y = 0?
Responda:
(a) r = 1/515, -3
(b) Mostrado na explicação.
Explicação:
(b) Substituímos y por ae^(r_1 x) + be^(r_2 x)aer1x+ber2x. Primeiro, precisamos descobrir os valores para y 'e y' '.
y = ae^(x/5) + be^(-3x)aex5+be−3x
y '= 1/5 ae^(x/5) - 3 be^(-3x)15aex5−3be−3x
y '' = 1/25 ae^(x/5) - 9 be^(-3x)125aex5−9be−3x
Agora podemos inserir os valores em nossa equação diferencial 5y '' + 14y '- 3y = 0.
5[1/25 ae^(x/5) - 9 be^(-3x)] + 14[1/5 ae^(x/5) - 3 be^(-3x)] − 3[ae^(x/5) + be^(-3x)] = 05[125aex5−9be−3x]+14[15aex5−3be−3x]−3[aex5+be−3x]=0
a[1/5 e^(x/5) + 14/5 e^(x/5) - 3 e^(x/5)] + b[45 e^(-3x) - 42 e^(-3x) - 3 e^(-3x)] = 0a[15ex5+145ex5−3ex5]+b[45e−3x−42e−3x−3e−3x]=0
a[3 e^(x/5) - 3 e^(x/5)] + b[45 e^(-3x) - 42 e^(-3x) - 3 e^(-3x)] = 0a[3ex5−3ex5]+b[45e−3x−42e−3x−3e−3x]=0
a[3 e^(x/5) - 3 e^(x/5)] + b[3 e^(-3x) - 3 e^(-3x)] = 0a[3ex5−3ex5]+b[3e−3x−3e−3x]=0
a [0] + b [0] = 0
0 = 0
Como as soluções são 0, significa que todos os membros da família de funções em y = ae^(r_1 x) + be^(r_2 x)aer1x+ber2x é uma solução para 5y '' + 14y '- 3y = 0.