Para quais valores de r a função y = $e^{r x}$ $e ^ (rx)$ satisfaz a equação diferencial 5y '' + 14y '- 3y = 0?

Responda:

(a) r = $\frac{1}{5}$ $1/5$ , -3

(b) Mostrado na explicação.

Explicação:

(b) Substituímos y por $a e_{1}^{r_{1} x} + b e_{2}^{r_{2} x}$ $ae^(r_1 x) + be^(r_2 x)$ . Primeiro, precisamos descobrir os valores para y 'e y' '.

y = $a e^{\frac{x}{5}} + b e^{- 3 x}$ $ae^(x/5) + be^(-3x)$
y '= $\frac{1}{5} a e^{\frac{x}{5}} - 3 b e^{- 3 x}$ $1/5 ae^(x/5) - 3 be^(-3x)$
y '' = $\frac{1}{25} a e^{\frac{x}{5}} - 9 b e^{- 3 x}$ $1/25 ae^(x/5) - 9 be^(-3x)$

Agora podemos inserir os valores em nossa equação diferencial 5y '' + 14y '- 3y = 0.

$5 [\frac{1}{25} a e^{\frac{x}{5}} - 9 b e^{- 3 x}] + 14 [\frac{1}{5} a e^{\frac{x}{5}} - 3 b e^{- 3 x}] - 3 [a e^{\frac{x}{5}} + b e^{- 3 x}] = 0$ $5[1/25 ae^(x/5) - 9 be^(-3x)] + 14[1/5 ae^(x/5) - 3 be^(-3x)] − 3[ae^(x/5) + be^(-3x)] = 0$

$a [\frac{1}{5} e^{\frac{x}{5}} + \frac{14}{5} e^{\frac{x}{5}} - 3 e^{\frac{x}{5}}] + b [45 e^{- 3 x} - 42 e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}] = 0$ $a[1/5 e^(x/5) + 14/5 e^(x/5) - 3 e^(x/5)] + b[45 e^(-3x) - 42 e^(-3x) - 3 e^(-3x)] = 0$

$a [3 e^{\frac{x}{5}} - 3 e^{\frac{x}{5}}] + b [45 e^{- 3 x} - 42 e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}] = 0$ $a[3 e^(x/5) - 3 e^(x/5)] + b[45 e^(-3x) - 42 e^(-3x) - 3 e^(-3x)] = 0$

$a [3 e^{\frac{x}{5}} - 3 e^{\frac{x}{5}}] + b [3 e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}] = 0$ $a[3 e^(x/5) - 3 e^(x/5)] + b[3 e^(-3x) - 3 e^(-3x)] = 0$

a [0] + b [0] = 0

0 = 0

Como as soluções são 0, significa que todos os membros da família de funções em y = $a e_{1}^{r_{1} x} + b e_{2}^{r_{2} x}$ $ae^(r_1 x) + be^(r_2 x)$ é uma solução para 5y '' + 14y '- 3y = 0.

Para quais valores de r a função y = e ^ (rx) erx e ^ (rx) satisfaz a equação diferencial 5y '' + 14y '- 3y = 0?

Responda:

Explicação:

Para quais valores de r a função y = $e^{r x}$ $e ^ (rx)$ satisfaz a equação diferencial 5y '' + 14y '- 3y = 0?