O que é x=-2 na forma polar?

A maioria das pessoas que escrevem a identidade de Euler como [matemática]e^{i\pi} + 1 = 0[/math] e ficam todas patetas sobre constantes não entendem realmente que um dos seus dois usos primários é responder a esta pergunta, ou mais geralmente, como números reais negativos são representados em coordenadas polares.

[matemática]e^{i \pi} = -1[/math]

[matemática]2 e^{i \pi} = -2[/math]

Isso é [matemática]-2[/math] em forma polar, magnitude [matemática]2[/math], ângulo [matemática]\pi.[/math]

O outro uso da Identidade de Euler é a quadratura para obter a identidade muito mais fundamental, que eu chamo de Verdadeira Identidade de Euler:

[matemática]e^{2\pi i} =1[/math]

Esta identidade encapsula a periodicidade fundamental da função exponencial imaginária, [matemática]f(x) = e^{ix}.[/math] To wit:

[math]f(x + 2\pi) = e^{i(x+2\pi)} = e^{ix}e^{2\pi i} = e^{ix} = f(x)[/math]

Desta e da fórmula de Euler resulta que as funções trigonométricas seno e co-seno são periódicas com o período [math]2\pi.Não é necessário introduzir outros fatos sobre trigonometria.

Crescer a verdadeira identidade de Euler a qualquer poder inteiro [matemática]k[/math] dá [matemática]e^{2\pi k i}=1.[/math] Esta é a razão fundamental pela qual muitas expressões complexas são multivalorizadas. Podemos multiplicar qualquer coisa por uma sem mudá-la, então essas expressões são, explícita ou implicitamente, funções da [matemática]k.Por exemplo, as raízes cúbicas da unidade são

[matemática]1 3} = (e^{\pi k i})^{\pi k i})^{\pi frac 1 3} = e^{i (2\pi/3) k}[/math]

Existem aqui três valores únicos, dados para quaisquer três [matemática]k[/math]s.