Qual é a integral do #int tan ^ 3 (x) dx #?

Dividir #tan^3(x)# para dentro #tan^2(x)tan(x)# então reescreva #tan^2(x)# usando a identidade #tan^2(theta)+1=sec^2(theta)=>tan^2(theta)=sec^2(theta)-1#.

#inttan^3(x)dx=inttan^2(x)tan(x)dx=int(sec^2(x)-1)tan(x)dx#

Distribuir:

#=intsec^2(x)tan(x)dx-inttan(x)dx#

Para a primeira integral, aplique a substituição #u=tan(x)=>du=sec^2(x)dx#, os quais já estão na integral.

#=intucolor(white).du-inttan(x)dx#

#=u^2/2-inttan(x)dx#

#=tan^2(x)/2-inttan(x)dx#

Agora reescreva #tan(x)# as #sin(x)/cos(x)# e aplique a substituição #v=cos(x)=>dv=-sin(x)dx#.

#=tan^2(x)/2-intsin(x)/cos(x)dx#

#=tan^2(x)/2+int(-sin(x))/cos(x)dx#

#=tan^2(x)/2+int(dv)/v#

Esta é uma integral comum:

#=tan^2(x)/2+ln(absv)+C#

#=tan^2(x)/2+ln(abscos(x))+C#