Qual é a série McLaurin de #f (x) = sinh (x)?

Podemos derivar a série McLaurin para #sinh(x)# da única função exponencial: como para todo #n#:

#[(d^n)/(dx^n) e^x ]_(x=0) = e^0=1#

a série Mc Laurin para #e^x# é:

#e^x=sum_(n=0)^oo x^n/(n!)#

Agora como:

#sinhx = (e^x-e^(-x))/2#

Nós temos:

#sinhx = 1/2[sum_(n=0)^oo x^n/(n!)-sum_(n=0)^oo (-x)^n/(n!)]#

e é fácil ver isso por #n# até os termos são os mesmos e apenas se cancelam, para que apenas os termos de ordem ímpar permaneçam:

#sinhx = 1/2[sum_(k=0)^oo x^(2k+1)/((2k+1)!)-sum_(k=0)^oo (-1)^(2k+1)x^(2k+1)/((2k+1)!)] = 1/2[sum_(k=0)^oo x^(2k+1)/((2k+1)!)+sum_(k=0)^oo x^(2k+1)/((2k+1)!)] = sum_(k=0)^oo x^(2k+1)/((2k+1)!)#

Podemos chegar diretamente à mesma conclusão, observando que:

#d/(dx) sinhx = coshx#

#d^2/(dx^2) sinhx = d/(dx)coshx = sinhx#

de modo que todas as derivadas de ordem ímpar sejam iguais #coshx# e todos os derivados de ordem uniforme iguais #sinhx#

Mas #sinh(0) = 0# e #cosh(0) = 1# produzindo o mesmo resultado.