Usando o teste integral, como você mostra se sum (1 / e ^ k) diverge ou converge?

Responda:

A série converge conforme comprovado pelo teste integral explicado abaixo.

Explicação:

O teste integral afirma que:

If int_1^oo f(x)dx converge para um valor que não é infinito, então sum_(k=1)^oof(k) também convergirá.

Primeiro temos que olhar para a natureza de f(x) = 1/e^x.

gráfico {1 / e ^ x [-10, 10, -5, 5]}

Como podemos ver f(x) está diminuindo estritamente de x = 1 em palavras para que possamos aplicar o teste integral.

Lembrete f(k)= 1/e^k = e^(-k)

Integre isso com relação a x para obter:

int_1^ooe^-xdx = [-e^(-x)]_1^oo=[-1/e^(x)]_1^oo

Para o limite superior, podemos ver isso como x fica muito grande a parte inferior da fração também fica grande, portanto a fração como um todo fica muito pequena e desaparece completamente em x=oo .Mais formalmente:

lim_(x->oo)(-1/e^x)=0

Para o limite inferior, simplesmente obtemos: -1/e^

Portanto, avaliar os limites fornece:

[-1/e^(x)]_1^oo=-1/e^ que é finito.

Assim, pelo teste integral, como a integral converge para um valor finito, então a soma:

sum_(k=1)^oof(k) também converge.

É importante notar que o integral não pode ser usado para avaliar a soma , mas teste apenas se converge ou não, ou seja:

sum_(k=1)^oo 1/e^k !=1/e

De fato, se avaliarmos a soma que obtemos:

sum_(k=1)^oo 1/e^k =1/(1-e)