Usando o teste integral, como você mostra se `sum (1 / e ^ k)` diverge ou converge?

O teste integral afirma que:

If `int_1^oo f(x)dx` converge para um valor que não é infinito, então `sum_(k=1)^oof(k)` também convergirá.

Primeiro temos que olhar para a natureza de `f(x) = 1/e^x`.

gráfico {1 / e ^ x [-10, 10, -5, 5]}

Como podemos ver `f(x)` está diminuindo estritamente de `x = 1` em palavras para que possamos aplicar o teste integral.

Lembrete `f(k)= 1/e^k = e^(-k)`

Integre isso com relação a `x` para obter:

`int_1^ooe^-xdx = [-e^(-x)]_1^oo=[-1/e^(x)]_1^oo`

Para o limite superior, podemos ver isso como `x` fica muito grande a parte inferior da fração também fica grande, portanto a fração como um todo fica muito pequena e desaparece completamente em `x=oo` .Mais formalmente:

`lim_(x->oo)(-1/e^x)=0`

Para o limite inferior, simplesmente obtemos: `-1/e^`

Portanto, avaliar os limites fornece:

`[-1/e^(x)]_1^oo=-1/e^` que é finito.

Assim, pelo teste integral, como a integral converge para um valor finito, então a soma:

`sum_(k=1)^oof(k)` também converge.

É importante notar que o integral não pode ser usado para avaliar a soma , mas teste apenas se converge ou não, ou seja:

`sum_(k=1)^oo 1/e^k !=1/e`

De fato, se avaliarmos a soma que obtemos:

`sum_(k=1)^oo 1/e^k =1/(1-e)`