Usando o teste integral, como você mostra se #sum (1 / e ^ k) # diverge ou converge?

O teste integral afirma que:

If #int_1^oo f(x)dx# converge para um valor que não é infinito, então #sum_(k=1)^oof(k)# também convergirá.

Primeiro temos que olhar para a natureza de #f(x) = 1/e^x#.

gráfico {1 / e ^ x [-10, 10, -5, 5]}

Como podemos ver #f(x)# está diminuindo estritamente de #x = 1# em palavras para que possamos aplicar o teste integral.

Lembrete #f(k)= 1/e^k = e^(-k)#

Integre isso com relação a #x# para obter:

#int_1^ooe^-xdx = [-e^(-x)]_1^oo=[-1/e^(x)]_1^oo#

Para o limite superior, podemos ver isso como #x# fica muito grande a parte inferior da fração também fica grande, portanto a fração como um todo fica muito pequena e desaparece completamente em #x=oo# .Mais formalmente:

#lim_(x->oo)(-1/e^x)=0#

Para o limite inferior, simplesmente obtemos: #-1/e^#

Portanto, avaliar os limites fornece:

#[-1/e^(x)]_1^oo=-1/e^# que é finito.

Assim, pelo teste integral, como a integral converge para um valor finito, então a soma:

#sum_(k=1)^oof(k)# também converge.

É importante notar que o integral não pode ser usado para avaliar a soma , mas teste apenas se converge ou não, ou seja:

#sum_(k=1)^oo 1/e^k !=1/e#

De fato, se avaliarmos a soma que obtemos:

#sum_(k=1)^oo 1/e^k =1/(1-e)#