Usando o teste integral, como você mostra se sum (1 / e ^ k) ∑(1ek) diverge ou converge?
Responda:
A série converge conforme comprovado pelo teste integral explicado abaixo.
Explicação:
O teste integral afirma que:
If int_1^oo f(x)dx∫∞1f(x)dx converge para um valor que não é infinito, então sum_(k=1)^oof(k)∞∑k=1f(k) também convergirá.
Primeiro temos que olhar para a natureza de f(x) = 1/e^xf(x)=1ex.
gráfico {1 / e ^ x [-10, 10, -5, 5]}
Como podemos ver f(x)f(x) está diminuindo estritamente de x = 1x=1 em palavras para que possamos aplicar o teste integral.
Lembrete f(k)= 1/e^k = e^(-k)f(k)=1ek=e−k
Integre isso com relação a xx para obter:
int_1^ooe^-xdx = [-e^(-x)]_1^oo=[-1/e^(x)]_1^oo∫∞1e−xdx=[−e−x]∞1=[−1ex]∞1
Para o limite superior, podemos ver isso como xx fica muito grande a parte inferior da fração também fica grande, portanto a fração como um todo fica muito pequena e desaparece completamente em x=oox=∞ .Mais formalmente:
lim_(x->oo)(-1/e^x)=0
Para o limite inferior, simplesmente obtemos: -1/e^
Portanto, avaliar os limites fornece:
[-1/e^(x)]_1^oo=-1/e^ que é finito.
Assim, pelo teste integral, como a integral converge para um valor finito, então a soma:
sum_(k=1)^oof(k) também converge.
É importante notar que o integral não pode ser usado para avaliar a soma , mas teste apenas se converge ou não, ou seja:
sum_(k=1)^oo 1/e^k !=1/e
De fato, se avaliarmos a soma que obtemos:
sum_(k=1)^oo 1/e^k =1/(1-e)