Dezembro 23, 2019

por Madelin

Qual é a série taylor de $x e^{x}$ $xe ^ x$ ?

Responda:

$x e^{x} = x + x^{2} + \frac{x^{3}}{2!} + \frac{x^{4}}{3!} + \frac{x^{5}}{4!} + ...$ $xe^x = x + x^2 + x^3/(2!)+x^4/(3!) + x^5/(4!) + ...$
$= \infty \sum n = 0 \frac{x^{n + 1}}{n!}$ $= sum_(n=0)^oo x^(n+1)/(n!)$

Explicação:

Podemos começar com a conhecida série Maclaurin para $e^{x}$ $e^x$

$e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + ...$ $e^x = 1 + x + x^2/(2!)+x^3/(3!) + x^4/(4!) + ...$
$= \infty \sum n = 0 \frac{x^{n}}{n!}$ $= sum_(n=0)^oo x^n/(n!)$

Então, multiplicando por $x$ $x$ temos:

$x e^{x} = x {1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} + ...}$ $xe^x = x{1 + x + x^2/(2!)+x^3/(3!) + x^4/(4!) + ... }$
$= x + x^{2} + \frac{x^{3}}{2!} + \frac{x^{4}}{3!} + \frac{x^{5}}{4!} + ...$ $= x + x^2 + x^3/(2!)+x^4/(3!) + x^5/(4!) + ...$
$= \infty \sum n = 0 x \cdot \frac{x^{n}}{n!}$ $= sum_(n=0)^oo x*x^n/(n!)$
$= \infty \sum n = 0 \frac{x^{n + 1}}{n!}$ $= sum_(n=0)^oo x^(n+1)/(n!)$