Qual é o limite de # (1 + 4 / x) ^ x # quando x se aproxima do infinito?

Observe que

#(1 + 4/x)^x = e^(x ln(1 + 4/x))#

e se o limite existir,

#lim_{x -> oo} ( e^(x ln(1 + 4/x)) ) = e^{lim_{x -> oo}(x ln(1+4/x))}#

como a função exponencial é contínua em todos os lugares.

Para avaliar o limite no expoente, primeiro escrevemos como

#x ln(1 + 4/x) = frac{ln(1 + 4/x)}{1/x}#

Como o formulário é indeterminado #0/0#, use a regra L'hospital.

#lim_{x->oo}(ln(1+4/x)/(1/x)) = lim_{x->oo}(frac{frac{d}{dx}(ln(1+4/x))}{frac{d}{dx}(1/x)})#

#= lim_{x->oo}(frac{-4/x^2}{(1+4/x)}/(-1/x^2))#

#= lim_{x->oo}(4/(1+4/x))#

#= frac{4}{1+0}#

#= 4#

Portanto, o limite é #e^4#.